本文將簡述連分數，有些內容之後視情況將斟酌補充。
連分數在數學上是一個有趣的主題，小時候大家玩過摺紙遊戲，把長方形的紙片等角對折，剪去以折線為對角的正方形，然後不斷重複做一樣的事情之後，把同樣大小的正方形蒐集起來，這時候正方形由大到小的個數就構成了一個連分數。
Definition
考慮一串整數的序列，
$$
a_0,a_1,a_2,…
$$
其中 $a_i\geq 0,\forall i>0$。
我們定義有限項連分數，
$$
s_n=[a_0;a_1,a_2,…,a_n]:=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{…}{a_n}}}。
$$
如果 $s_n$ 收斂，那麼定義，
$$
[a_0;a_1,a_2,…]:=\lim_{i\rightarrow\infty}s_n。
$$
如何計算
從連分數算出質因子表達式
定義
$$
\frac{p_i}{q_i}=[a_0;a_1,…a_i]，
$$
其中 $p_i, q_i$ 互質，那麼我們有遞推關係
$$
p_n=a_n\cdot p_{n-1}+p_{n-2}\\\
q_n=a_n\cdot q_{n-1}+q_{n-2}
$$
從實數構造出連分數表達式
任何實數 $r\in\mathbb{R}$ 都可以被連分數序列表達，
$$
r = [a_0;a_1,…]。
$$
並且考慮
$$
r_0 = r\\\
r_n=\frac{1}{r_{n-1}-a_{n-1}}，
$$
那麼我們有
$$
a_n=\lfloor r_n\rfloor。
$$
表達的唯一性
考慮
$$
s = [a_0;a_1,…,a_n+1] = [a_0;a_1,…,a_n,1]，
$$
除去這種情況外，連分數的表達是唯一的。
有理逼近
考慮我們想要逼近區間 $[l,r),r=l+1\in\mathbb{Z}$ 之間的某個數字 $x$，模仿二分逼近法，我們可以先定義一個”中值函數”
$$
mid(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{a+c}{b+d}。
$$
如果
$$
\frac{a}{b}<\frac{c}{d}，
$$
那麼顯然有
$$
\frac{a}{b}<mid(\frac{a}{b},\frac{c}{d})<\frac{c}{d}。
$$
可以透過下面迭代使解收斂至 $x$
$$
m_i = mid(l_i,r_i)\\
\pmatrix{l_0\\r_0} = \pmatrix{l\\r}\\
\pmatrix{l_{i+1}\\r_{i+1}} = \pmatrix{m_i\\r_i},m_i<x\\
\pmatrix{l_{i+1}\\r_{i+1}} = \pmatrix{l_i\\m_i},x<m_i
$$
仔細觀察 $mid$ 函數，其實正對應到連分數的迭代式，
如果
$$
l_i = [a_0;a_1,a_2,…,a_{i-2}]\\
r_i = [a_0;a_1,a_2,…,a_{i-1}]
$$
那麼有
$$
mid(l_i, r_i) = [a_0;a_1,a_2,…,a_{i-1},1] = [a_0;a_1,a_2,…,a_{i-1}+1]
$$
可以發現對於數列這樣一個迭代的數列中類似於連分數，結論上兩種序列最終都會收斂至 $x$ (需要證明)，但連分數的收斂速度更快。
Optimal Diophantine Approximation
事實證明，連分數序列不只會收斂至指定的實數，這個序列是某種意義下的最佳逼近。
對於 $x\in\mathbb{R}$ 考慮 $N\in\mathbb{N}$ ，那麼對於所有質因子表達，
$$
\frac{p}{q}, q<N
$$
總存在
$$
\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,a_2,…,a_n],\\
|\frac{p_n}{q_n}-x|\leq|\frac{p}{q}-x|。
$$
此外，由於連分數的分子分母項都是指數成長(從遞推式可以看出)，計算上它是十分有效率的，可以說這是一個相當好的逼近方法。
後記
然後我就把手邊的 double A4拿去做實驗XD，發現它的長寬比大概是24:17